证明:当n为整数时,504|n^9-n^3,即504能整除后面的代数式.

Question

证明:当n为整数时,504 | n^9-n^3,即504能整除后面的代数式.

Answer 1

N^9 - N^3 = (N-1)* N^3 * (N+1)(N^4 + N^2 + 1)
①当N是奇数时,(N-1)、 (N+1)必各含因数2、4,当N是偶数时,N^3含因数8.
②N被3整除,则原数必含因数9.N被3除余1、2时,则N-1、N+1有一个含因数3.
且N^4+N^2+1
= (3K±1)^4+(3K±1)^2+1
= 81K^4±4*27K^3+6*9K^2±4*3K+1 + 9K² ± 2*3K+1+1
= 81K^4±4*27K^3+6*9K^2±4*3K + 9K² ± 2*3K+3 含因数3
③ 原式 = N^3 (N^6 - 1)
当N与7互质时,N^6 - 1 必能被7整除,当N不与7互质时,N^3含因数7
综上,7*8*9 = 504,原式含因数7、8、9,必能被7整除.