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运用函数单调性证明不等式当x>0时,ln(1+x)>x/1+x
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运用函数单调性证明不等式当x>0时,ln(1+x)>x/1+x
▼优质解答
答案和解析
ln(1+x)>x/(1+x)
设f(x)=ln(1+x)-x/(1+x) （x>0)
f'(x)=1/(1+x)-[(1+x)-x]/(1+x)^2
=1/(1+x)-1/(1+x)^2
=x/(1+x)^2
∵x>0∴f'(x)>0恒成立
∴f(x)为(0,+∞)上的增函数
∴f(x)>f(0)=ln1-0/(1+0)=0
即ln(1+x)>x/(1+x)
设f(x)=ln(1+x)-x/(1+x) （x>0)
f'(x)=1/(1+x)-[(1+x)-x]/(1+x)^2
=1/(1+x)-1/(1+x)^2
=x/(1+x)^2
∵x>0∴f'(x)>0恒成立
∴f(x)为(0,+∞)上的增函数
∴f(x)>f(0)=ln1-0/(1+0)=0
即ln(1+x)>x/(1+x)
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