如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上，若四边形EGFH是菱形，则AE的长是．

Question

如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上，若四边形EGFH是菱形，则AE的长是___．

Answer 1

连接EF交AC于O，
∵四边形EGFH是菱形，
∴EF⊥AC，OE=OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠D=90°，AB∥CD，
∴∠ACD=∠CAB，
在△CFO与△AOE中，

∠FCO=∠OAB

∠FOC=∠AOE

OF=OE

，
∴△CFO≌△AOE（AAS），
∴AO=CO，
∵AC=√(AB2+BC2)=4√(5)，
∴AO=(1)/(2)AC=2√(5)，
∵∠CAB=∠CAB，∠AOE=∠B=90°，
∴△AOE∽△ABC，
∴(AO)/(AB)=(AE)/(AC)，
∴(2√(5))/(8)=(AE)/(4√(5))，
∴AE=5．
故答案为5．