入为何值,线性方程组（1）无解（2）有唯一解（3）有无穷多个解（不必求出解）入X1+X2+X3=1X1+入X2+X3=入X1+X2+入X3=入平方

Question

入为何值,线性方程组（1）无解（2）有唯一解（3）有无穷多个解（不必求出解）
入X1+ X2+ X3=1
X1+入X2+ X3=入
X1+X2+入X3=入平方

Answer 1

增广矩阵为
λ 1 1 1
1 λ 1 λ
1 1 λ λ^2
r1-λr2,r2-r3
0 1-λ^2 1-λ 1-λ^2
0 λ-1 1-λ λ(1-λ)
1 1 λ λ^2
r1+(λ+1)r2
0 0 (1-λ)(2+λ) (1-λ)(1+λ)^2
0 λ-1 1-λ λ(1-λ)
1 1 λ λ^2
r1r3
1 1 λ λ^2
0 λ-1 1-λ λ(1-λ)
0 0 (1-λ)(2+λ) (1-λ)(1+λ)^2
所以,
当λ≠1 且λ≠-2 时, r(A)=r(增广矩阵)=3, 方程组有唯一解.
当λ=-2 时, r(A)=2, r(增广矩阵)=3, 方程组无解.
当λ=1 时, r(A)=1=r(增广矩阵)<3, 方程组有无穷多解.
[注:该方法难点在化梯矩阵, 化成梯矩阵后就简单了]