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奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）为偶函数，且f（1）=2，则f（4）+f（5）的值为（）A.2B.1C.-1D.-2
题目详情
奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）为偶函数，且f（1）=2，则f（4）+f（5）的值为（ ）
A. 2
B. 1
C. -1
D. -2
▼优质解答
答案和解析
∵f（x+1）为偶函数，f（x）是奇函数，
∴设g（x）=f（x+1），
则g（-x）=g（x），
即f（-x+1）=f（x+1），
∵f（x）是奇函数，
∴f（-x+1）=f（x+1）=-f（x-1），
即f（x+2）=-f（x），f（x+4）=f（x+2+2）=-f（x+2）=f（x），
则f（4）=f（0）=0，f（5）=f（1）=2，
∴f（4）+f（4）=0+2=2，
故选：A．
∴设g（x）=f（x+1），
则g（-x）=g（x），
即f（-x+1）=f（x+1），
∵f（x）是奇函数，
∴f（-x+1）=f（x+1）=-f（x-1），
即f（x+2）=-f（x），f（x+4）=f（x+2+2）=-f（x+2）=f（x），
则f（4）=f（0）=0，f（5）=f（1）=2，
∴f（4）+f（4）=0+2=2，
故选：A．
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