已知△ABC中，O为外心，I为内心，且AB+AC=2BC．求证：OI⊥AI（图）．

Question

已知△ABC中，O为外心，I为内心，且AB+AC=2BC．求证：OI⊥AI（图）．

Answer 1

证明：∵I是内心，
∴(AC)/(CE)＝(AB)/(BE)＝(AI)/(IE)，(AC+AB)/(BC)=(AB)/(BE)．
又∵AC+AB=2BC，
∴AB=2BE．由△ABE∽△ADC知AD=2DC．
又∵DC=DI（内心性质），
∴AD=2DI．
而O是外心，
∴OI⊥AI．