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如图，已知BC是⊙O的直径，点D为BC延长线上的一点，点A为圆上一点，且AB=AD，AC=CD．（1）求证：△ACD∽△BAD；（2）求证：AD是⊙O的切线．
题目详情
如图，已知BC是⊙O的直径，点D为BC延长线上的一点，点A为圆上一点，且AB=AD，AC=CD．
（1）求证：△ACD∽△BAD；
（2）求证：AD是⊙O的切线．
（1）求证：△ACD∽△BAD；
（2）求证：AD是⊙O的切线．
▼优质解答
答案和解析
证明：（1）∵AB=AD，
∴∠B=∠D，
∵AC=CD，
∴∠CAD=∠D，
∴∠CAD=∠B，
∵∠D=∠D，
∴△ACD∽△BAD；
（2）连接OA，
∵OA=OB，
∴∠B=∠OAB，
∴∠OAB=∠CAD，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，
∴OA⊥AD，
∴AD是⊙O的切线．
证明：（1）∵AB=AD，∴∠B=∠D，
∵AC=CD，
∴∠CAD=∠D，
∴∠CAD=∠B，
∵∠D=∠D，
∴△ACD∽△BAD；
（2）连接OA，
∵OA=OB，
∴∠B=∠OAB，
∴∠OAB=∠CAD，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，
∴OA⊥AD，
∴AD是⊙O的切线．
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