如图，抛物线，是否存在点P使⊙P与直线BC相切？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．提示：抛物线y=ax2+bx+x（a≠0）的顶点坐标（），对称轴x=．

Question

如图，抛物线，是否存在点P使⊙P与直线BC相切？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
提示：抛物线y=ax²+bx+x（a≠0）的顶点坐标（），对称轴x=．

Answer 1

（1）抛物线y=-；
∴DG=2x=；
故D、P重合时，若⊙P与直线BC相切，则r＞DG，即r＞；
②存在符合条件的P点，且P点坐标为：P₁（2，4），P₂（4，3），P₃（3+，），P₄（3-，）；
过点F作FM⊥BC于M；
∵DE=EF=2，则Rt△DGE≌Rt△FME；
∴FM=DG=r=；
分别过D、F作直线m、n平行于直线BC，则直线m与直线BC、直线n与直线BC之间的距离都等于r；
所以P点必为直线m、n与抛物线的交点；
设直线m的解析式为：y=ax+h，由于直线m与直线BC平行，则a=-；
∴-×2+h=4，h=5，
即直线m的解析式为y=-x+5；
同理可求得直线n的解析式为：y=-x+1；
联立直线m与抛物线的解析式，
得：，
解得，；
∴P₁（2，4），P₂（4，3）；
同理，联立直线n与抛物线的解析式可求得：P₃（3+，），P₄（3-，）；
故存在符合条件的P点，且坐标为：P₁（2，4），P₂（4，3），P₃（3+，），P₄（3-，）．