找出F2[x]中的所有4次不可约多项式

Question

找出 F2[x] 中的所有 4 次不可约多项式

Answer 1

首先4次多项式若可约,则含有1次或2次不可约因子.
F2[x]中的1次多项式只有x和x+1,2次不可约多项式只有x²+x+1.
f(x) ∈ F2[x]被x整除当且仅当其常数项为0,被x+1整除当且仅当其非零系数恰有偶数个.
因此不含1次因子的4次多项式只有x⁴+x³+x²+x+1,x⁴+x³+1,x⁴+x²+1,x⁴+x+1.
而不含1次因子但含有2次因子的多项式只有(x²+x+1)² = x⁴+x²+1.
所以F2[x]中的4次不可约多项式只有x⁴+x³+x²+x+1,x⁴+x³+1,x⁴+x+1这3个.