1和0.999...9循环为什么一样大!

Question

1和0.999...9循环为什么一样大!

Answer 1

在完备的实数系中,循环小数0.999...,也可写成数学、数学或数学,表示一个等于1的实数.也就是说,“0.999...”所表示的数与“1”相同.长期以来,该等式被职业数学家所接受,并在教科书中讲授.
简介
0.999...是一个小数系统中的数,一些最简单的0.999...=1的证明都依赖于这个系统方便的算术性质.大部分的小数算术——加法、减法、乘法、除法,以及大小的比较,操作方法都与整数差不多.与整数一样,任何两个有限小数只要数字不同,那么数值也一定不同.特别地,任何一个形为0.99...4的数,其中只有有限个9,都是严格小于1的.
误解0.999...中的“...”（省略号）的意义,是对0.999...=1的误解的其中一个原因.这里省略号的用法与日常语言和0.99...9中的用法是不同的,0.99...9中的省略号意味着有限的部分被省略掉了.但是,当用来表示一个循环小数的时候,“...”则意味着无限的部分被省略掉了,这只能用极限的数学概念来阐释.这样,“0.999...”所表示的实数,是收敛数列（0.9,0.99,0.999,0.9999,...）的极限.“0.999...”是一个数列的极限,从这方面讲,对于0.999...=1这个等式就很直观了.
与整数和有限小数的情况不一样,一个数也可以用许多种其它的方法来表示.例如,如果使用分数,1⁄3=2⁄6.但是,一个数最多只能用两种无限小数的方法来表示.如果有两种方法,那么一种一定含有无穷多个9,而另外一种则一定从某一位开始就全是零.
0.999...=1有许多证明,它们各有不同的严密性.一个严密的证明可以简单地说明如下.考虑到两个实数是相等的,当且仅当它们的差等于零.大部分人都同意,0.999...与0的差,就算存在也是非常的小（趋近零）.考虑到以上的收敛数列,我们可以证明这个差一定是小于任何一个正数的,也可以证明（详细内容参见阿基米德原理）,唯一具有这个性质的实数是零.由于差是零,可知1和0.999...是相等的.用相同的理由,也可以解释为什么 0.333...=1⁄3,0.111...=1⁄9,等等.
证明
推想
0.999...是否为1?若使用减法直式计算（小数点后只列出五位,五位后省略）：
1.00000
— 0.99999
——————
0.00000
结果为0.000...,也就是0.0有限循环.因为小数点后五位之后还会一直填上0,始终无法找到最后一位来填上1.1.(0)-0.(9)=0.(0),故1=0.(9).
分数
无限小数是有限小数的一个必要的延伸,其中一个原因是用来表示分数.用长除法,一个像1⁄3的简单整数除法便变成了一个循环小数,0.333...,其中有无穷多个数字3.利用这个小数,很快就能得到一个0.999...=1的证明.用3乘以 0.333...中的每一个3,便得到9,所以3×0.333...等于0.999.而3×1⁄3等于1,所以0.999...=1.
这个证明的另外一种形式,是用1/9=0.101...乘以8.数学
小数
一个更加早期的形式,是基于以下的方程：数学
由于两个方程都是正确的,因此根据相等关系的传递性质,0.999...一定等于1.类似地,2/2=1,且2/2=0.999.所以,0.999...一定等于2.
位数操作
另外一种证明更加适用于其它循环小数.当一个小数乘以10时,其数字不变,但小数点向右移了一位.因此10×0.999...等于9.999...,它比原来的数大9.
考虑从9.999...减去0.999.我们可以一位一位地减；在小数点后的每一位,结果都是9-9,也就是0.两者小数点后的数目均为0.999...故可互消,结果为小数点后为零.最后一个步骤用到了代数.设0.999...=c,则10c−c=9,也就是9c=9.等式两端除以9,便得证：d=1.用一系列方程来表示,就是数学
以上两个证明中的位数操作的正确性,并不需要盲目相信,也无需视为公理；它是从小数和所表示的数之间的基本关系得出的.这个关系,可以用几个等价的方法来表示,已经规定了0.999...和1.000...都表示相同的数.
实数分析
由于0.999...的问题并不影响数学的正式发展,因此我们可以暂缓进行研究,直到证明了实数分析的标准定理为止.其中一个要求,是要刻划所有能表示成小数的实数的特征,由一个可选择的符号、构成整数部分的有限个数字、一个小数点,以及构成小数部分的一系列数字组成.为了讨论0.999...的目的,我们可以把整数部分概括为b0,并可以忽略负号,这样小数展开式就具有如下的形式：数学
小数部分与整数部分不一样,整数部分只能有有限个数字,而小数部分则可以有无穷多个数字.这一点是至关重要的.这是一个进位制,所以400中的4是50中的4的十倍,而0.05中的5则是0.5中的5的十分之一.