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在平面直角坐标系XOY中,一次函数的图象是直线l1,l1与x轴、y轴分别相交于A、B两点.直线l2过点C(a,0)且与直线l1垂直,其中a>0.点P、Q同时从A点出发,其中点P沿射线AB运动,速度为每
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在平面直角坐标系XOY中,一次函数的图象是直线l1,l1与x轴、y轴分别相交于A、B两点.直线l2过点C(a,0)且与直线l1垂直,其中a>0.点P、Q同时从A点出发,其中点P沿射线AB运动,速度为每秒4个单位;点Q沿射线AO运动,速度为每秒5个单位.
(1)写出A点的坐标和AB的长;
(2)当点P、Q运动了多少秒时,以点Q为圆心,PQ为半径的⊙Q与直线l2、y轴都相切,求此时a的值.
(1)写出A点的坐标和AB的长;
(2)当点P、Q运动了多少秒时,以点Q为圆心,PQ为半径的⊙Q与直线l2、y轴都相切,求此时a的值.
▼优质解答
答案和解析
(1)根据一次函数图象与坐标轴的交点求法,分别求出坐标即可;
(2)根据相似三角形的判定得出△APQ∽△AOB,以及当⊙Q在y轴右侧与y轴相切时,当⊙Q在y轴的左侧与y轴相切时,分别分析得出答案.
【解析】
(1)∵一次函数的图象是直线l1,l1与x轴、y轴分别相交于A、B两点,
∴y=0时,x=-4,
∴A(-4,0),AO=4,
∵图象与y轴交点坐标为:(0,3),BO=3,
∴AB=5;
(2)由题意得:AP=4t,AQ=5t,==t,
又∠PAQ=∠OAB,
∴△APQ∽△AOB,
∴∠APQ=∠AOB=90°,
∵点P在l1上,
∴⊙Q在运动过程中保持与l1相切,
①当⊙Q在y轴右侧与y轴相切时,设l2与⊙Q相切于F,由△APQ∽△AOB,得:
∴,
∴PQ=6;
故AQ=10,则运动时间为:=2(秒);
连接QF,则QF=PQ,
∵直线l2过点C(a,0)且与直线l1垂直,FQ⊥l1,
∴∠APQ=∠QFC=90°,AP∥FQ,
∴∠PAQ=∠FQC,
∴△QFC∽△APQ,
∴△QFC∽△APQ∽△AOB,
得:,
∴,
∴,
∴QC=,
∴a=OQ+QC=OC=,
②如图2,当⊙Q在y轴的左侧与y轴相切时,设l2与⊙Q相切于E,由△APQ∽△AOB得:=,
∴PQ=,
则AQ=4-=2.5,
∴则运动时间为:=(秒);
故当点P、Q运动了2秒或秒时,以点Q为圆心,PQ为半径的⊙Q与直线l2、y轴都相切,
连接QE,则QE=PQ,
∵直线l2过点C(a,0)且与直线l1垂直,⊙Q在运动过程中保持与l1相切于点P,
∴∠AOB=90°,∠APQ=90°,
∵∠PAO=∠BAO,
∴△APQ∽△AOB,
同理可得:△QEC∽△APQ∽△AOB得:=,
∴=,=,
∴QC=,a=QC-OQ=,
∴a的值是:和,
(2)根据相似三角形的判定得出△APQ∽△AOB,以及当⊙Q在y轴右侧与y轴相切时,当⊙Q在y轴的左侧与y轴相切时,分别分析得出答案.
【解析】
(1)∵一次函数的图象是直线l1,l1与x轴、y轴分别相交于A、B两点,
∴y=0时,x=-4,
∴A(-4,0),AO=4,
∵图象与y轴交点坐标为:(0,3),BO=3,
∴AB=5;
(2)由题意得:AP=4t,AQ=5t,==t,
又∠PAQ=∠OAB,
∴△APQ∽△AOB,
∴∠APQ=∠AOB=90°,
∵点P在l1上,
∴⊙Q在运动过程中保持与l1相切,
①当⊙Q在y轴右侧与y轴相切时,设l2与⊙Q相切于F,由△APQ∽△AOB,得:
∴,
∴PQ=6;
故AQ=10,则运动时间为:=2(秒);
连接QF,则QF=PQ,
∵直线l2过点C(a,0)且与直线l1垂直,FQ⊥l1,
∴∠APQ=∠QFC=90°,AP∥FQ,
∴∠PAQ=∠FQC,
∴△QFC∽△APQ,
∴△QFC∽△APQ∽△AOB,
得:,
∴,
∴,
∴QC=,
∴a=OQ+QC=OC=,
②如图2,当⊙Q在y轴的左侧与y轴相切时,设l2与⊙Q相切于E,由△APQ∽△AOB得:=,
∴PQ=,
则AQ=4-=2.5,
∴则运动时间为:=(秒);
故当点P、Q运动了2秒或秒时,以点Q为圆心,PQ为半径的⊙Q与直线l2、y轴都相切,
连接QE,则QE=PQ,
∵直线l2过点C(a,0)且与直线l1垂直,⊙Q在运动过程中保持与l1相切于点P,
∴∠AOB=90°,∠APQ=90°,
∵∠PAO=∠BAO,
∴△APQ∽△AOB,
同理可得:△QEC∽△APQ∽△AOB得:=,
∴=,=,
∴QC=,a=QC-OQ=,
∴a的值是:和,
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