双曲线(a>1，b>0)的焦距为2c，直线l过点(a，0)和(0，b)，且点(1，0)到直线l的距离与点(-1，0)到直线l的距离之和，则双曲线的离心率e的取值范围是ABCD

Question

双曲线(a>1，b>0)的焦距为2c，直线l过点(a，0)和(0，b)，且点(1，0)到直线l的距离与点(-1，0)到直线l的距离之和，则双曲线的离心率e的取值范围是

• A

  
• B

  
• C

  
• D

  

Answer 1

【分析】直线l的方程是bx+ay-ab=0，点(1，0)到直线l的距离，点(-1，0)到直线l的距离，．由知，所以4e⁴-25e²+25≤0，由此可知e的取值范围．

直线l的方程为，即bx+ay-ab=0．
由点到直线的距离公式，且a>1，得到点(1，0)到直线l的距离，
同理得到点(-1，0)到直线l的距离，
．
由，得．
于是得4e⁴-25e²+25≤0．
解不等式，得 ≤e²≤5．
由于e>1>0，
所以e的取值范围是 ．
故选D．

【点评】本题主要考查点到直线距离公式，双曲线的基本性质以及综合运算能力．