设不等式组x>0y>0y≤-nx+3n所表示的平面区域为Dn，记Dn内的整点个数为an（n∈N*），（整点即横、纵坐标均为整数的点）．（1）计算a1，a2，a3的值；（2）求数列{an}的通项公式an；（3）记数

Question

设不等式组

x>0

y>0

y≤-nx+3n

所表示的平面区域为D_n，记D_n内的整点个数为a_n（n∈N^*），（整点即横、纵坐标均为整数的点）．
（1）计算a₁，a₂，a₃的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（3）记数列{a_n}的前n项和为S_n，且T_n=(Sn)/(3•2n-1)，若对于一切的正整数n，总有T_n≤m，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）a₁=3，a₂=6，a₃=9．
（2）由x>0，-nx+3n≥y>0，得0∴x=1或x=2．
∴D_n内的整点在直线x=1和x=2上．
记直线y=-nx+3n为l，l与直线x=1，x=2的交点的纵坐标分别为y₁，y₂，
则y₁=-n+3n=2n，y₂=-2n+3n=n，
∴a_n=3n；
（3）∵Sn=3(1+2+3+…+n)=(3n(n+1))/(2)．
∴Tn=(n(n+1))/(2n)，
∵Tn+1-Tn=((n+1)(n+2))/(2n+1)-(n(n+1))/(2n)=((n+1)(2-n))/(2n+1)，
∴当n≥3时，Tn>Tn+1，且T1=1<T2=T3=(3)/(2)，故T2，T3是最大项．
故m≥(3)/(2)为所求．