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(2001•湖州)己知如图,正△ABC的边长为2,B,C在x轴的正半轴上,A在第一象限,直线经过A点,以BC为直径的⊙M交AB于E.(1)求A点的坐标;(2)求证:OE与⊙M相切;(3)试各写出一个顶
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(2001•湖州)己知如图,正△ABC的边长为2,B,C在x轴的正半轴上,A在第一象限,直线
经过A点,以BC为直径的⊙M交AB于E.
(1)求A点的坐标;
(2)求证:OE与⊙M相切;
(3)试各写出一个顶点在⊙M内、⊙M上、⊙M外,且经过B、C两点的抛物线的解析式.(只需写出解析式,不需书写求解过程).


(1)求A点的坐标;
(2)求证:OE与⊙M相切;
(3)试各写出一个顶点在⊙M内、⊙M上、⊙M外,且经过B、C两点的抛物线的解析式.(只需写出解析式,不需书写求解过程).

▼优质解答
答案和解析
(1)可在直角三角形BMA中,根据等边三角形的边长和∠ABC的正弦值求出AM的长即A点的纵坐标,然后代入直线的解析式中即可求出A点的坐标;
(2)连接ME,证ME⊥OE即可.易知三角形BEM是等边三角形,那么BE=BM,根据A点的坐标可求出B点的坐标,由此可证得AB=BM,因此证出了BE=
OM,由此得证;
(3)根据圆和抛物线的对称性可知:抛物线的对称轴必过M点,因此只需找出抛物线与圆的两个交点坐标,易知:(2,1)(2,-1).据此来求抛物线的解析式.
(1)【解析】
连接AM,在直角三角形ABM中,AB=2,∠ABC=60°,
因此BM=1,AM=
.
将y=
代入直线解析式中:
=
x+
-1,x=2
∴A(2,
)
(2)证明:由(1)可知:BM=1,
因此OB=OM-BM=2-1=1,
因此BM=OB
连接ME,∵MB=ME,∠ABC=60°,
∴△BME是等边三角形.
∴BE=OB=BM,
∴∠OME=∠EBM=∠BEM=60°,
∴∠OBE=120°,
∴∠EOB=∠BEO=30°,
∴∠OEM=90°,
∴OE是圆M的切线.
(3)【解析】
当顶点在圆上时,抛物线的解析式为y=±(x2-4x+3),其他两种情况答案不唯一.
(2)连接ME,证ME⊥OE即可.易知三角形BEM是等边三角形,那么BE=BM,根据A点的坐标可求出B点的坐标,由此可证得AB=BM,因此证出了BE=

(3)根据圆和抛物线的对称性可知:抛物线的对称轴必过M点,因此只需找出抛物线与圆的两个交点坐标,易知:(2,1)(2,-1).据此来求抛物线的解析式.

连接AM,在直角三角形ABM中,AB=2,∠ABC=60°,
因此BM=1,AM=

将y=




∴A(2,

(2)证明:由(1)可知:BM=1,
因此OB=OM-BM=2-1=1,
因此BM=OB
连接ME,∵MB=ME,∠ABC=60°,
∴△BME是等边三角形.
∴BE=OB=BM,
∴∠OME=∠EBM=∠BEM=60°,
∴∠OBE=120°,
∴∠EOB=∠BEO=30°,
∴∠OEM=90°,
∴OE是圆M的切线.
(3)【解析】
当顶点在圆上时,抛物线的解析式为y=±(x2-4x+3),其他两种情况答案不唯一.
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