已知二次函数f（x）的二次项系数为a（a＜0），且f（x）=-2x的实数根为1和3，若函数y=（x）+6a只有一个零点，求f（x）的解析式．

Question

已知二次函数f（x）的二次项系数为a（a＜0），且f（x）=-2x的实数根为1和3，若函数y=（x）+6a只有一个零点，求f（x） 的解析式．

Answer 1

设f（x）=ax²+bx+c，
∵二次函数f（x）的二次项系数为a（a＜0），∴函数图象开口向下，
∵f（x）=-2x 的实数根为1和3，∴ax²+bx+c=-2x的实数根为1和3
整理上式：ax²+（b+2）x+c=0，
将两个实根代入得如下两式：

a+(b+2)+c＝0

a•32+(b+2)•3+c＝0

，
由上两式得：b=-2-4a，c=3a，
∵y=f（x）+6a只有一个零点，
∴函数y=ax²+bx+c+6a的顶点横坐标就是它唯一的0点横坐标，且△=0，
即：b²-4a（c+6a）=0，
将b=-2-4a，c=3a，代入得：5a²-4a+1=0，
解得a=-(1)/(5)或a=1（舍），
b=-2-4×（-(1)/(5)）=-(6)/(5)，c=3×（-(1)/(5)）=-(3)/(5)，
所以f（x）=-(1)/(5)x²-(6)/(5)x-(3)/(5)．