在等差数列{an}中，已知a1=20,前n项和为Sn，且S10=S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值.

Question

在等差数列{a _n }中，已知a ₁ =20,前n项和为S _n ，且S ₁₀ =S ₁₅ ，求当n取何值时，S _n 取得最大值，并求出它的最大值.

Answer 1

当n=12或13时，S _n 取得最大值，且最大值为S ₁₂ = 130.

方法一 ∵a ₁ =20，S ₁₀ =S ₁₅ ，
∴10×20+ d=15×20+ d，
∴d=- .                                                                  4分
∴a _n =20+（n-1）×(- )=- n+ .                                           8分
∴a ₁₃ ="0.                                                                   " 10分
即当n≤12时，a _n ＞0,n≥14时，a _n ＜0.
∴当n=12或13时，S _n 取得最大值，且最大值为
S ₁₂ =S ₁₃ =12×20+ (- )="130.                          "                  14分
方法二 同方法一求得d=- .                                                 4分
∴S _n =20n+ ·(- )
=- n ² + n
=- + .                                                      8分
∵n∈N ₊ ,∴当n=12或13时，S _n 有最大值，
且最大值为S ₁₂ =S ₁₃ ="130.                                    "                   14分
方法三 同方法一得d=- .                                                   4分
又由S ₁₀ =S ₁₅ ,得a ₁₁ +a ₁₂ +a ₁₃ +a ₁₄ +a ₁₅ ="0.                                             " 8分
∴5a ₁₃ =0,即a ₁₃ ="0.                                                           " 10分
∴当n=12或13时，S _n 有最大值，
且最大值为S ₁₂ =S ₁₃ ="130.                                                      " 14分