已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的上顶点为A，右焦点为F，椭圆C上存在点P使线段OP被直线AF平分，则椭圆C的离心率的取值范围是．

Question

已知椭圆C： (x2)/(a2)+ (y2)/(b2)=1（a>b>0）的上顶点为A，右焦点为F，椭圆C上存在点P使线段OP被直线AF平分，则椭圆C的离心率的取值范围是___．

Answer 1

设P（x₀，y₀），则线段OP的中点为M((x0)/(2)，(y0)/(2))．
直线AF的方程为：(x)/(c)+(y)/(b)=1，
把点M的坐标代入可得：(x0)/(2c)+(y0)/(2b)=1，
与(x20)/(a2)+(y20)/(b2)=1联立可得：(a2+c2)

x

2 0

-4a²cx₀+3a²c²=0，
△=16a⁴c²-12a²c²（a²+c²）≥0，
化为a²≥3c²，
解得0<e≤(√(3))/(3)．
∴椭圆C的离心率的取值范围是(0，(√(3))/(3)]．
故答案为：(0，(√(3))/(3)]．