sin^2A+sin^2B+sin^2C＞2貌似三角函数中有一个很著名的定理在△ABC中,sin^2A+sin^2B+sin^2C=2就是直角三角形,＜2就是钝角三角形,＞2就是锐角三角形怎样证明?式中是sinA的平方

Question

sin^2A+sin^2B+sin^2C＞2
貌似三角函数中有一个很著名的定理
在△ABC中,sin^2A+sin^2B+sin^2C=2就是直角三角形,＜2就是钝角三角形,＞2就是锐角三角形
怎样证明?
式中是sinA的平方

Answer 1

在三角形里,有恒等式sin^2A+sin^2B+sin^2C-2cosAcosBcosC=2
恒等式证明：
sinA^2+sinB^2+sinB^2-2cosAcosBcosC
=3-(cosA^2+cosB^2+cosC^2+2cosAcosBcosC)
=3-{cosA*[cosA+2cosB*cosC]+(1/2)*[cos(2B)+cos(2C)+2]}
=3-{-cos(B+C)*[-cos(B+C)+2cosB*cosC]+cos(B+C)*cos(B-C)+1}
=3-{-cos(B+C)*cos(B-C)+cos(B+C)*cos(B-C)+1}
=2
当sin^2A+sin^2B+sin^2C＞2时,cosAcosBcosC