如图1所示，水平面上有两根足够长的光滑平行金属导轨MN和PQ，两导轨间距为l，电阻均可忽略不计．在M和P之间接有阻值为R的定值电阻，导体杆ab质量为m、电阻为r，并与导轨接触良好．整个

Question

如图1所示，水平面上有两根足够长的光滑平行金属导轨MN和PQ，两导轨间距为l，电阻均可忽略不计．在M和P之间接有阻值为R的定值电阻，导体杆ab质量为m、电阻为r，并与导轨接触良好．整个装置处于方向竖直向上磁感应强度为B的匀强磁场中．现给ab杆一个初速度v₀，使杆向右运动．

（1）当ab杆刚好具有初速度v₀时，求此时ab杆两端的电压U，a、b两端哪端电势高；
（2）请在图2中定性画出通过电阻R的电流i随时间变化规律的图象；
（3）若将M和P之间的电阻R改为接一电容为C的电容器，如图3所示．同样给ab杆一个初速度v₀，使杆向右运动．请分析说明ab杆的运动情况，并推导证明杆稳定后的速度为v=(mv0)/(m+B2l2C)．

Answer 1

（1）ab杆切割磁感线产生感应电动势为：E=Blv₀
根据全电路欧姆定律有：I=(E)/(R+r)   
ab杆两端电压即路端电压为：U=IR   
联立解得：U=(Blv0R)/(R+r)，根据右手定则可得a端电势高；
（2）杆在向右运动过程中速度逐渐减小、感应电动势逐渐减小，根据闭合电路的欧姆定律可得感应电流逐渐减小，通过电阻R的电流i随时间变化规律的图象如图所示：

（3）分析：当ab杆以初速度v₀开始切割磁感线时，产生感应电动势，电路开始给电容器充电，有电流通过ab杆，杆在安培力的作用下做减速运动，随着速度减小，安培力减小，加速度也减小，杆做加速度减小的减速运动．当电容器两端电压与感应电动势相等时，充电结束，杆以恒定的速度做匀速直线运动．
推导证明：当电容器两端电压与感应电动势相等时有U=Blv
根据电容器电容C=(Q)/(U)                   
以ab杆为研究对象，在很短的一段时间△t内，杆受到的冲量大小为BIl△t
从ab杆开始运动至速度达到稳定的过程，根据动量定理：∑-BIl△t=-BlQ=mv-mv₀
联立可得v=(mv0)/(m+B2l2C)．      
答：（1）当ab杆刚好具有初速度v₀时，此时ab杆两端的电压为U(Blv0R)/(R+r)，a端电势高；
（2）通过电阻R的电流i随时间变化规律的图象如图所示；
（3）ab杆先做加速度减小的减速运动，最后匀速运动，稳定后的速度为v=(mv0)/(m+B2l2C)，证明见解析．