在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点A（0，3），设圆C的半径为1，圆心C（a，b）在直线l：y=2x-4上．（1）若圆心也在直线y=-x+5上，求圆C的方程；（2）在（1）的条件下，过点A作圆C的切

Question

在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点A（0，3），设圆C的半径为1，圆心C（a，b）在直线l：y=2x-4上．
（1）若圆心也在直线y=-x+5上，求圆C的方程；
（2）在（1）的条件下，过点 A作圆C的切线，求切线的方程；
（3）若圆C上存在点M，使|MA|=|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围．

Answer 1

（1）由

y=2x-4

y=-x+5

…（1分）    得圆心C为（3，2），…（2分）
∵圆C的半径为，∴圆C的方程为：（x-3）²+（y-2）²=1…（4分）
（2）由题意知切线的斜率一定存在，…（5分）（或者讨论）
设所求圆C的切线方程为y=kx+3，即kx-y+3=0…（6分）
∴(|3k-2+3|)/(√(k2+1))=1…（7分）∴|3k+1|=√(k2+1)∴2k（4k+3）=0
∴k=0或者k=-(3)/(4)…（8分）
∴所求圆C的切线方程为：y=3或者y=-(3)/(4)x+3
即y=3或者3x+4y-12=0…（9分）
（3）设M为（x，y），由√(x2+(y-3)2)=√(x2+y2)…（11分）
整理得直线m：y=(3)/(2)…（12分）
∴点M应该既在圆C上又在直线m上，即：圆C和直线m有公共点
∴|2a-4-(3)/(2)|≤1，∴(9)/(4)≤a≤(13)/(4)…（13分）
终上所述，a的取值范围为：[(9)/(4)，(13)/(4)]…（14分）