已知∠ABC=45°,∠CAD=90°,AB=100,AC=AD,AB=BC,求BD的长度

Question

已知∠ABC=45°,∠CAD=90°,AB=100,AC=AD,AB=BC,求BD的长度

Answer 1

=100√3
过程需要一定的计算量.
解题思路：
作辅助线DE、CE,使四边形ADEC为正方形.
再取DE中点F,作BF垂直于DE.
显然三角形BDE是等腰三角形（BF是垂线）,且BF垂直于AC(设垂足为G,则G为AC的中点)
则设AC=AD=a,根据两个条件计算：
1）直角三角形BDF的勾股定理
BD^2 = BF^2+DF^2= (BG+FG)^2 + (DE/2)^2=(AB*cos∠ABG+FG)^2 + (DE/2)^2
即BD^2 =(100*cos∠22.5°+a)^2+a^2/4 ①
2) 三角形ABC的余弦定理
AC^2=AB^2+BC^2-2AB*BC*cos45°
即a^2=100^2+100^2-2*100^2*cos45° ②
由①②解出结果（其中要使用到三角倍角公式）