尺规作图求解三条互相平行的直线a,b,c；请用尺规作图,使得正三角形ABC的顶点分别在三条直线上（即A在a上,B在b上,C在c上）

Question

尺规作图求解
三条互相平行的直线a,b,c；
请用尺规作图,使得正三角形ABC的顶点分别在三条直线上（即A在a上,B在b上,C在c上）

Answer 1

如图, 设正三角形ABC为所求作, 设AC交b于点D.   
任意取c上一点C', 作正三角形AB'C', 设AC'交b于点D'.
则AD:AC = AD':AC'(平行线分线段成比例).
∴AD:AD' = AC:AC' = AB:AB'(∵AC = AB, AC' = AB').
又∵∠BAD = 60° = ∠B'AD'
∴△BAD ∽ △B'AD'. 有∠ABD  = ∠AB'D'.
∴A, B, B', D'四点共圆.


因此有作图方法(大意):
1. 任取a上一点A与c上一点C', 以AC'为边作正三角形AB'C', 设AC'交b于点D'.
2. 过A, B', D'三点作圆, 交b于点B.
3. 以AB为边作正三角形ABC即满足要求.


如果没学四点共圆, 可以用△BAD ∽ △B'AD', 相似比 = BD与B'D'边上的高之比.
B'D'边上的高可以作出来, 而BD边上的高就是直线a, b间的距离.
再由相似比等于AB:AB'即可作出AB.