棱长为2的正方体A1B1C1D1-ABCD中，E、F分别是C1C和D1A1的中点，（1）求异面直线与所成的角的余弦值；（2）求点A到EF的距离．

Question

棱长为2的正方体A ₁ B ₁ C ₁ D ₁ -ABCD中，E、F分别是C ₁ C和D ₁ A ₁ 的中点，
（1）求异面直线 与 所成的角的余弦值；
（2）求点A到EF的距离．

Answer 1

（1）异面直线 与 所成的角的余弦值为 ；（2）A到EF的距离为 ．

（1）如图，以D为原点，DA、DC、DD ₁ 分别为x轴、
y轴、z轴建立空间直角坐标系，则由已知得
A（2，0，0），B（2，2，0），E（0，2，1），F（1，0，2）；
∴ =（0，2，0）， =（1， ，1）， =（1，0， ），
∴ | |=2，| |= ， = ；
= , = ，
∴ 与 夹角的余弦值为cos = = ．
∵异面直线所成角的范围是 ，向量的夹角范围是 ；
∴异面直线 与 所成的角的余弦值为 ．
（2）由（1）得 = ，| |= ；
∴ 在 方向上的射影为 = ，
∴A到EF的距离为 ．