等腰三角形中,AB=BC,角B=120度,M,N分别是AB,BC边上的中点,若AC边上的高为1,求MP+NP

Question

等腰三角形中,AB=BC,角B=120度,M,N分别是AB,BC边上的中点,若AC边上的高为1,求MP+NP

Answer 1

连接AM′,MP,BP
∵点M’和点M关于AC对称
∴MP=M’P,∠MPA=∠M’PA
又∵PA=PA
∴△MPA≌△M’PA
∴∠BAC=∠M’AC,AM=AM’
又∵AB=BC
∴∠BAC=∠C
∴∠M’AC=∠C
又∵M,N分别为AB,BC边上的中点
∴AM=NC
即：AM’=NC
又∵∠APM’=∠CPN
∴△APM’≌△CPN
∴AP=PC
∴BP为AC边上的高
又∵在Rt△ABP中,∠BAP=30o
∴BP= 12AB=MB
又∵∠ABP=60o．
∴△BMP为等边三角形
∴MP=BP=1
同理：NP=1
∴MP+NP的最短长度为2．