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如图，在直角三角形ABC中，CM是斜边AB上的中线，MN⊥AB，∠ACB的平分线CN交MN于N，求证：CM=MN．
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如图，在直角三角形ABC中，CM是斜边AB上的中线，MN⊥AB，∠ACB的平分线CN交MN于N，求证：CM=MN．▼优质解答
答案和解析
证明：∵CM是斜边AB上的中线，
∴AM=CM，
∴∠A=∠ACM，
∵CN是Rt∠ACB的角平分线，
∴∠ACN=45°，
∴∠MCN=45°-∠ACM，
∵∠CMB是△AMC的外角，
∴∠CMB=2∠ACM，
∵MN⊥AB，
∴∠CMN=90°+2∠ACM，
∵∠CMN+∠N+∠MCN=180°，
∴∠N=45°-∠ACM，
∴∠MCN=∠N，
∴CM=MN．
∴AM=CM，
∴∠A=∠ACM，
∵CN是Rt∠ACB的角平分线，
∴∠ACN=45°，
∴∠MCN=45°-∠ACM，
∵∠CMB是△AMC的外角，
∴∠CMB=2∠ACM，
∵MN⊥AB，
∴∠CMN=90°+2∠ACM，
∵∠CMN+∠N+∠MCN=180°，
∴∠N=45°-∠ACM，
∴∠MCN=∠N，
∴CM=MN．
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