给一个正方体的每一个面染色,每个面只允许用一种颜色,允许重复使用同一种颜色,现有四种颜色可选,共可以形成几种不同的染色方式；（旋转后可达成一致只算一种方式）

Question

给一个正方体的每一个面染色,每个面只允许用一种颜色,允许重复使用同一种颜色,现有四种颜色可选,共可以形成几种不同的染色方式；（旋转后可达成一致只算一种方式）

Answer 1

正方体的任意两个面在空间排列上只有两种关系：相邻或相对
解题的时候以这一点为突破口
首先要考虑颜色的排列顺序,然后是各面的空间位置
只用1种颜色：C(4,1)=4
空间位置组合也只有一种,所以就是1×4=4
使用2种颜色：C(4,2)=4×3÷2÷1=6
面数(就是每个颜色染了多少面)组合：
1,5(空间位置组合只有一种)
2,4(两面相邻或相对,共2种)
3,3(三面成直线或不成直线,共2种)
4,2(跟2,4相反,共2种)
5,1(跟1,5相反,共1种)
一共是：1+2+2+2+1=8种
8×6=48
使用3种颜色：C(4,3)=4
面数组合
1,1,4(空间位置组合有2种,就是两个1相邻或相对的2种)
1,4,1(2种)
4,1,1(2种)
1,2,3(2种,1和3成直线或不成直线)
1,3,2(2种)
2,1,3(2种)
2,3,1(2种)
3,1,2(2种)
3,2,1(2种)
面数组合的9种,实际上可以用P(3,1)+P(3,3)=9 算出来
2×9×4=72
使用4种颜色：C(4,4)=1
面数组合
1,1,1,3(空间位置组合共4种,同色3面成直线时有3种,同色3面不成直线时有1种)
1,1,3,1
1,3,1,1
3,1,1,1
1,1,2,2(共4种,两个1相对时有2种,相邻时也有2种)
1,2,2,1
1,2,1,2
2,1,1,2
2,1,2,1
2,2,1,1
C(4,1)×4+C(4,2)×4)=40
1×40=40
总共是：4+48+72+40=164种
感觉上应该有简便的算法,或者存在什么定理之类的.我对这一类题的了解不多,所以只能提供一个最笨的解法...