等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,内部一点D满足∠ABD=30°,AB=BD,求证：AD=CD

Question

等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,内部一点D满足∠ABD=30°,AB=BD,求证：AD=CD

Answer 1

令AB = BD = 1
则 BC = 根号2
在三角形ABD中,由余弦定理
cos 角ABD = 根号3/2 = （AB^2+BD^2 - AD^2）/（2AB*BD）
AD^2 = 2-根号3
在三角形DBC中,由余弦定理
cos 角DBC = COS 15度 = （根号6+根号2）/4 = (BD^2+BC^2-CD^2) / (2*bd * bc)
CD^2 = 2-根号3
所以 AD = CD