如图，已知动点A在函数的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，延长CA至点D，使AD=AB，延长BA至点E，使AE=AC．直线DE分别交x轴于点P，Q．当QE：DP=4：9时，图中阴影部分的面积等于．

Question

如图，已知动点A在函数 的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，延长CA至点D，使AD=AB，延长BA至点E，使AE=AC．直线DE分别交x轴于点P，Q．当QE：DP=4：9时，图中阴影部分的面积等于 　　 ．

Answer 1

试题分析：过点D作DG⊥x轴于点G，过点E作EF⊥y轴于点F．令A（t， ），则AD=AB=DG= ，AE=AC=EF=t，则图中阴影部分的面积=△ACE的面积+△ABD的面积= t ² + × ，因此只需求出t ² 的值即可．先在直角△ADE中，由勾股定理，得出DE= ，再由△EFQ∽△DAE，求出QE= ，△ADE∽△GPD，求出DP=： ，然后根据QE：DP=4：9，即可得出t ² = ．
解法一：过点D作DG⊥x轴于点G，过点E作EF⊥y轴于点F．

令A（t， ），则AD=AB=DG= ，AE=AC=EF=t．
在直角△ADE中，由勾股定理，得DE= = ．
∵△EFQ∽△DAE，
∴QE：DE=EF：AD，
∴QE= ，
∵△ADE∽△GPD，
∴DE：PD=AE：DG，
∴DP= ．
又∵QE：DP=4：9，
∴= ： =4：9，
解得t ² = ．
∴图中阴影部分的面积= AC ² + AB ² = t ² + × = +3= ．
解法二：∵QE：DP=4：9，
设QE=4m，则DP=9m，
设FE=4t，则GP=9t，
∴A（4t， ），
由AC="AE" AD=AB，
∴AE=4t，AD= ，DG= ，GP="9t"
∵△ADE∽△GPD，
∴AE：DG=AD：GP，
4t： = ：9t，即t ² = ，
图中阴影部分的面积= 4t×4t+ × × = ．
故答案为： ．
点评：本题考查了反比例函数的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，综合性较强，有一定难度．根据QE：DP=4：9，得出t ² 的值是解题的关键．