设点Pi（xi，yi）在直线li：aix+biy=ci上，若ai+bi=ici（i=1，2），且|P1P2|≥22恒成立，则c1a1

Question

设点P_i（x_i，y_i）在直线l_i：a_ix+b_iy=c_i上，若a_i+b_i=ic_i（i=1，2），且|P₁P₂|≥ (√(2))/(2)恒成立，则 (c1)/(a1)+ (a2)/(c2)=___．

Answer 1

∵点P_i（x_i，y_i）在直线l_i：a_ix+b_iy=c_i上，a_i+b_i=ic_i（i=1，2），
∴l₁过定点M（1，1），l₂过定点N((1)/(2)，(1)/(2))，
又|P₁P₂|≥(√(2))/(2)恒成立，∴l₁∥l₂，
∵|MN|=√((1-(1)/(2))2+(1-(1)/(2))2)=(√(2))/(2)，
∴MN⊥l_i（i=1，2）．
又k_MN=1．
∴直线l₁，l₂的方程分别为：x+y=2，x+y=1．
∴(c1)/(a1)+(a2)/(c2)=2+1=3．
故答案为：3．