若数列{an}对于任意的正整数n满足:an＞0且anan+1=n+1，则称数列{an}为“积增数列”.已知“积增数列”{an}中，a1=1，数列{an2+an+12}的前n项和为Sn，则对于任意的正整数n，有（）A.Sn≤2n2+3B.Sn

Question

若数列{a_n}对于任意的正整数n满足:a_n＞0且a_na_n+1=n+1，则称数列{a_n}为“积增数列”.已知“积增数列”{a_n}中，a₁=1，数列{a_n²+a_n+1²}的前n项和为S_n，则对于任意的正整数n，有（　　）
A. S_n≤2n²+3
B. S_n≥n²+4n
C. S_n≤n²+4n
D. S_n≥n²+3n

Answer 1

∵a_n＞0
∴a_n²+a_n+1²≥2a_na_n+1
∵a_na_n+1=n+1
∴{a_na_n+1}的前n项和为2+3+4+…+n+1=((2+n+1)n)/(2)＝((n+3)n)/(2)
∴数列{a_n²+a_n+1²}的前n项和为Sn≥2 ×((n+3)n)/(2)＝(n+3)n
故选D