海伦公式S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)],p=(a+b+c)/2是怎么推导出来的?

Question

海伦公式S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)],p=(a+b+c)/2 是怎么推导出来的?

Answer 1

证明（1） 与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同,在此我们用三角公式和公式变形来证明.设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C,则余弦定理为 cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab S=1/2*ab*sinC =1/2*ab*√(1-cos^2 C) =1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2] =1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2] =1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)] =1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2] =1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)] 设p=(a+b+c)/2 则p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16] =√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 所以,三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]