已知a>0,计算:lim(a+a^3+a^5···a^(2n+1))/(a^2+a^4···a^2n)

Question

已知a>0,计算:lim(a+a^3+a^5···a^(2n+1))/(a^2+a^4···a^2n)

Answer 1

（1）当a∞){[a+a³+.+a^(2n+1)]/[a²+a^4+.+a^(2n)]}
=(1/a)lim(n->∞){[1-a^(2n+2)]/[1-a^(2n)]} (应用等比数列求和公式,并化简)
=(1/a)[(1-0)/(1-0)]
=1/a；
（2）当a>1时,lim(n->∞){[a+a³+.+a^(2n+1)]/[a²+a^4+.+a^(2n)]}
=(1/a)lim(n->∞){[1-a^(2n+2)]/[1-a^(2n)]} (应用等比数列求和公式,并化简)
=(1/a)lim(n->∞){[1/a^(2n)-a²)]/[1/a^(2n)-1]} (分子分母同除a^(2n))
=(1/a)[(0-a²)/(0-1)]
=a；
（3）当a=1时,lim(n->∞){[a+a³+.+a^(2n+1)]/[a²+a^4+.+a^(2n)]}
=lim(n->∞)(n/n) (分子分母都是n个1)
=1.