x+2/根号x^2-2x+4求不定积分

Question

x+2/根号x^2-2x+4求不定积分

Answer 1

你的表达可能有点问题,是不是想求 ∫［（x＋2）/（x^2－2x＋4）］dx
若是这样,则方法如下：
原式＝∫｛（x－1＋3）/√［（x－1）^2＋3］｝d（x－1）.
令x－1＝√3tanθ,则：tanθ＝（x－1）/√3,dx＝［√3/（cosθ）^2］dθ,
∴容易求出：cosθ＝√3/√［3＋（x－1）^2）］,sinθ＝（x－1）/√［3＋（x－1）^2）］.
∴原式＝∫｛（√3tanθ＋3）/√［3（tanθ）^2＋3］｝［√3/（cosθ）^2］dθ
　　　＝∫［（√3tanθ＋3）/cosθ］dθ
　　　＝√3∫［sinθ/（cosθ）^2］dθ＋3∫［1/cosθ］dθ
　　　＝－√3∫［1/（cosθ）^2］d（cosθ）＋3∫［1/（cosθ）^2］d（sinθ）
　　　＝√3/cosθ＋（3/2）∫｛［（1＋sinθ）＋（1－sinθ）］/［1－（sinθ）^2］｝d（sinθ）
　　　＝√［3＋（x－1）^2］＋（3/2）∫［1/（1－sinθ）］d（sinθ）
　　　　＋（3/2）∫［1/（1＋sinθ）］d（sinθ）
　　　＝√（x^2－2x＋4）－（3/2）ln（1－sinθ）＋（3/2）ln（1＋sinθ）＋C
　　　＝√（x^2－2x＋4）－（3/2）ln｜1－（x－1）/√［3＋（x－1）^2）］｜
　　　　＋（3/2）ln｜1＋（x－1）/√［3＋（x－1）^2）］｜＋C
　　　＝√（x^2－2x＋4）＋（3/2）ln｜√（x^2－2x＋4）＋x－1｜
　　　　－（3/2）ln｜√（x^2－2x＋4）－x＋1｜＋C
注：若原题不是我所猜测的那样,则请你补充说明.