（2012•荆州）如图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连接AB、AE、BE．已知tan∠CBE=13，A（3，0），D（-1，0），E（0，3）．（1

Question

（2012•荆州）如图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连接AB、AE、BE．已知tan∠CBE=(1)/(3)，A（3，0），D（-1，0），E（0，3）．
（1）求抛物线的解析式及顶点B的坐标；
（2）求证：CB是△ABE外接圆的切线；
（3）试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度（0＜t≤3）时，△AOE与△ABE重叠部分的面积为s，求s与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围．

Answer 1

（1）由题意，设抛物线解析式为y=a（x-3）（x+1）．
将E（0，3）代入上式，解得：a=-1．
∴y=-x²+2x+3．
则点B（1，4）．

（2）证明：如图1，过点B作BM⊥y于点M，则M（0，4）．
在Rt△AOE中，OA=OE=3，
∴∠1=∠2=45°，AE=√(OA2+OE2)=3√(2)．
在Rt△EMB中，EM=OM-OE=1=BM，
∴∠MEB=∠MBE=45°，BE=√(EM2+BM2)=√(2)．
∴∠BEA=180°-∠1-∠MEB=90°．
∴AB是△ABE外接圆的直径．
在Rt△ABE中，tan∠BAE=(BE)/(AE)=(1)/(3)=tan∠CBE，
∴∠BAE=∠CBE．
在Rt△ABE中，∠BAE+∠3=90°，∴∠CBE+∠3=90°．
∴∠CBA=90°，即CB⊥AB．
∴CB是△ABE外接圆的切线．

（3）Rt△ABE中，∠AEB=90°，tan∠BAE=(1)/(3)，sin∠BAE=(√(10))/(10)，cos∠BAE=(3√(10))/(10)；
若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，则△DEP必为直角三角形；
①DE为斜边时，P₁在x轴上，此时P₁与O重合；
由D（-