n对夫妻排成一队照相,要求没对夫妻都不相邻,这样的排队方法有多少种?无知者,勿扰!

Question

n对夫妻排成一队照相,要求没对夫妻都不相邻,这样的排队方法有多少种?
无知者,勿扰!

Answer 1

首先看成有2n个位置,任意排列有：（2n）!种情况；
再考虑相邻的情况：夫妻n对,（把夫妻看成一个整体,考虑夫妻互换位置）,选出一对夫妻,有n种选法,可以放到n个位置的任意一个,有n种放法,剩下2n-2个人,任意排列,则相邻的排列有2*n*n*（2n-2）!种情况；
所以总共的排列有（2n）!-2*n*n*（2n-2）!
=2n*（2n-1）*(2n-2)!-2*n*n*(2n-2)!
=2n*（n-1）*（2n-2）!种.
举例：n=2,设AB,CD为两对夫妻,则可能的排列有
ACBD,ADBC,BCAD,BDAC;CADB,DACB,CBDA,DBCA八种
2*2*（2-1）*（2*2-2）!=2*2*1*2!=8.
呵呵.貌似对了哈.
或者2对夫妻4人,共有4!=24种排法,
相邻的AB,有ABCD,ABDC；CABD,DABC；CDAB,DCAB六种情况；
相邻的BA,也有六种,即上面AB互换位置,BACD,BADC；CBAD,DBAC；CDBA,DCBA；
相邻的CD和DC,本来分别也有6种,但上面已经出现一部分,只是没有出现同时在中间的4种：
ACDB,ADCB,BCDA,BDCA.
因此,相邻的有6+6+4种,不相邻的排法有24-16=8种.