设A是n阶实方阵,证明方程组A'AX=A'B一定有解,用数学语言的表示方法怎么证明呢?

Question

设A是n阶实方阵,证明方程组A'AX=A'B一定有解,用数学语言的表示方法怎么证明呢?

Answer 1

因为A'B 的列向量可由A'的列向量线性表示. 同理, A'A 的列向量也可由A'的列向量线性表示.
此外因为r(A'A) = r(A'),所以 A' 的列向量组与A'A的列向量组等价.
所以,A'A 以及A’B都可以由A‘A线性表出 所以 r([A'A,A'B]) = r(A'A)
所以 A'AX=A'B 有解.