已知幂级数∞n＝0an（x-1）n在点x=-1处条件收敛，则幂级数∞n＝0ann（x-3）n+1的收敛区间为．

Question

已知幂级数

∞

n＝0

a_n（x-1）ⁿ在点x=-1处条件收敛，则幂级数

∞

n＝0

(an)/(n)（x-3）ⁿ⁺¹的收敛区间为______．

Answer 1

依题意，级数

∞

n＝1

an(x−1)n的收敛半径R=|-1-1|=2
∴

lim

n→∞

|(an)/(an+1)|＝2
∴

lim

n→∞

|((an)/(n))/((an)/(n+1))|＝

lim

n→∞

|(an)/(an+1)|＝2
令t=x-3，则幂级数

∞

n＝0

(an)/(n)（x-3）ⁿ⁺¹变为

∞

n＝0

(an)/(n)tn+1
因此，其收敛半径为2
∴幂级数

∞

n＝0

(an)/(n)tn+1的收敛区间为（-2，2）
∴幂级数

∞

n＝0

(an)/(n)（x-3）ⁿ⁺¹的收敛区间为
-2＜x-3＜2，即x∈（1，5）