已知∠AOB=α（90°<α<180°），∠COD在∠AOB的内部，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD．（1）若∠COD=180°-α时，探索下面两个问题：①如图1，当OC在OD左侧，求∠MON的度数；②当OC在OD右侧，请在图2内

Question

已知∠AOB=α（90°<α<180°），∠COD在∠AOB的内部，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD．
（1）若∠COD=180°-α时，探索下面两个问题：
①如图1，当OC在OD左侧，求∠MON的度数；
②当OC在OD右侧，请在图2内补全图形，并求出∠MON的度数（用含α的代数式表示）；
（2）如图3，当∠COD=kα，且OC在OD左侧时，直接写出∠MON的度数（用含α、k的代数式表示）．

Answer 1

（1）①如图1，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
∴∠AOM=(1)/(2)∠AOC，∠BON=(1)/(2)∠BOD，
∴∠AOM+∠BON=(1)/(2)（∠AOC+∠BOD），
∵∠AOB=α，∠COD=180°-α，
∴∠AOC+∠BOD=∠AOB-∠COD=α-（180°-α）=2α-180°，
∴∠AOM+∠BON=(1)/(2)（2α-180°）=α-90°，
∴∠MON=∠AOB-（∠AOM+∠BON）=α-（α-90°）=90°；

 ②当OC在OD右侧，补全图形如图2所画，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
∴∠AOM=(1)/(2)∠AOC，∠BON=(1)/(2)∠BOD，
∵∠AOB=α，∠COD=180°-α，
∴∠AOC+∠BOD=∠AOB+∠COD=α+（180°-α）=180°，
∴∠AOM+∠BON=(1)/(2)×180°=90°，
∴∠MON=∠AOB-（∠AOM+∠BON）=α-90°；

（2）∠MON的度数为(1)/(2)（1+k）α．
理由：如图3，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
∴∠AOM=(1)/(2)∠AOC，∠BON=(1)/(2)∠BOD，
∴∠AOM+∠BON=(1)/(2)（∠AOC+∠BOD），
∵∠AOB=α，∠COD=kα，
∴∠AOC+∠BOD=∠AOB-∠COD=α-kα，
∴∠AOM+∠BON=(1)/(2)（α-kα）=(1)/(2)α（1-k），
∴∠MON=∠AOB-（∠AOM+∠BON）=α-(1)/(2)α（1-k）=(1)/(2)（1+k）α．