如图，已知以点A（0，1）、C（1，0）为顶点的△ABC中，∠BAC=60°，∠ACB=90°，在坐标系内有一动点P，以P、B、C为顶点的三角形和△ABC全等，则P点坐标为（0，1）、（2，-1）、(2+3，3−1)、(3，3+

Question

如图，已知以点A（0，1）、C（1，0）为顶点的△ABC中，∠BAC=60°，∠ACB=90°，在坐标系内有一动点P，以P、B、C为顶点的三角形和△ABC全等，则P点坐标为

（0，1）、（2，-1）、(2+√(3)，√(3)−1)、(√(3)，√(3)+1)（答案无需化最简）

（0，1）、（2，-1）、(2+√(3)，√(3)−1)、(√(3)，√(3)+1)（答案无需化最简）

．

Answer 1

由勾股定理得：AC=√(2)，
∵∠BAC=60°，∠ACB=90°，
∴AB=2√(2)，BC=√(6)，
分为四种情况：①当P和A重合时，△PCB≌△ACB，此时P的坐标是（0，1）；
②如图1，

延长AC到P，使AC=CP，连接BP，过P作PM⊥x轴于M，此时PM=OA=1，CM=OC=1，OM=1+1=2，
即P的坐标是（2，-1）；
③如图2，

过B作BP⊥BC，且BP=AC=√(2)，此时PC=AB=2√(2)
过P作PM⊥x轴于M，此时∠PCM=15°，在x轴上取一点N，使∠PNM=30°，
即CN=PN，
设PM=x，则CN=PN=2x，MN=√(3)x，
在Rt△CPM中，由勾股定理得：（2√(2)）²=（2x+√(3)x）²+x²，
x=√(3)-1，
即PM=√(3)-1，MC=2x+√(3)x=√(3)+1，
OM=1+√(3)+1=2+√(3)，
即P的坐标是（2+√(3)，√(3)-1）；
④如图3，

过B作BP⊥BC，且BP=AC=√(2)，过P作PM⊥x轴于M，
此时∠PCM=30°+45°=75°，∠CPM=15°，和③解法类似求出CM=√(3)-1，
PM=2x+√(3)x=√(3)+1，OM=1+√(3)-1=√(3)，
即P的坐标是（√(3)，√(3)+1），
故答案为：（0，1）或（2，-1）或（2+√(3)，√(3)-1）或（√(3)，√(3)+1）．