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若D为等腰直角三角形ABC的BC边上任一点,且DE⊥AD,BE⊥AB.(1)求证:△ADE是等腰直角三角形;(2)如图,当D在CB上任意运动时,若BC=a,过B作BM⊥BC交AE于M,现给二个结论:①∠BMD的度数不
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若D为等腰直角三角形ABC的BC边上任一点,且DE⊥AD,BE⊥AB.
(1)求证:△ADE是等腰直角三角形;
(2)如图,当D在CB上任意运动时,若BC=a,过B作BM⊥BC交AE于M,现给二个结论:①∠BMD的度数不变:②BD+BM+DM值不变,其中有且只有一个结论是正确的,请你判断哪一个结论正确,证明正确的结论,并求其值.

(1)求证:△ADE是等腰直角三角形;
(2)如图,当D在CB上任意运动时,若BC=a,过B作BM⊥BC交AE于M,现给二个结论:①∠BMD的度数不变:②BD+BM+DM值不变,其中有且只有一个结论是正确的,请你判断哪一个结论正确,证明正确的结论,并求其值.

▼优质解答
答案和解析
(1)证明:如图1中,在线段CA取一点F,使得CF=CD.

∵∠C=90°,CF=CD,AC=CB,
∴AF=DB,∠CFD=∠CDF=45°,
∴∠AFD=135°,
∵BE⊥AB,∠ABC=45°,
∴∠ABE=90°,
∴∠DBE=135°,
∴∠AFD=∠DBE,
∵AD⊥DE,
∴∠ADE=90°,
∵∠FAD+∠ADC=90°,∠ADC+∠BDE=90°,
∴∠FAD=∠BDE,
在△ADF和△DEB中,
,
∴△ADF≌△DEB.
∴AD=DE,
∵∠ADE=90°,
∴△ADE是等腰直角三角形.
(2) ②正确.
理由:如图2中,作AG⊥BM交BM的延长线于G,在BG 的延长线上截取GH=CD.

∵∠C=∠CBG=∠AGB=90°,
∴四边形ACBG是矩形,
∵AC=CB,
∴四边形ACBG是正方形,
∴AC=AG,∠ACD=∠AGH=90°,
∴△ACD≌△AGH,
∴AD=AH,∠GAH=∠CAD,
∵∠DAE=45°,
∴∠MAH=∠MAG+∠GAH=∠MAG+∠CAD=45°,
∴∠MAD=∠MAH,∵MA=MA,
∴△MAH≌△MAD,
∴DM=KM,
∵HM=GM+HG=GM+CD,
∴DM=CD+GM.
∴BD+BM+DM=BD+BM+CD+MG=BC+BG=2BC=2a.
∴BD+BM+DM的值是定值.

∵∠C=90°,CF=CD,AC=CB,
∴AF=DB,∠CFD=∠CDF=45°,
∴∠AFD=135°,
∵BE⊥AB,∠ABC=45°,
∴∠ABE=90°,
∴∠DBE=135°,
∴∠AFD=∠DBE,
∵AD⊥DE,
∴∠ADE=90°,
∵∠FAD+∠ADC=90°,∠ADC+∠BDE=90°,
∴∠FAD=∠BDE,
在△ADF和△DEB中,
|
∴△ADF≌△DEB.
∴AD=DE,
∵∠ADE=90°,
∴△ADE是等腰直角三角形.
(2) ②正确.
理由:如图2中,作AG⊥BM交BM的延长线于G,在BG 的延长线上截取GH=CD.

∵∠C=∠CBG=∠AGB=90°,
∴四边形ACBG是矩形,
∵AC=CB,
∴四边形ACBG是正方形,
∴AC=AG,∠ACD=∠AGH=90°,
∴△ACD≌△AGH,
∴AD=AH,∠GAH=∠CAD,
∵∠DAE=45°,
∴∠MAH=∠MAG+∠GAH=∠MAG+∠CAD=45°,
∴∠MAD=∠MAH,∵MA=MA,
∴△MAH≌△MAD,
∴DM=KM,
∵HM=GM+HG=GM+CD,
∴DM=CD+GM.
∴BD+BM+DM=BD+BM+CD+MG=BC+BG=2BC=2a.
∴BD+BM+DM的值是定值.
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