若D为等腰直角三角形ABC的BC边上任一点，且DE⊥AD，BE⊥AB．（1）求证：△ADE是等腰直角三角形；（2）如图，当D在CB上任意运动时，若BC=a，过B作BM⊥BC交AE于M，现给二个结论：①∠BMD的度数不

Question

若D为等腰直角三角形ABC的BC边上任一点，且DE⊥AD，BE⊥AB．
（1）求证：△ADE是等腰直角三角形；
（2）如图，当D在CB上任意运动时，若BC=a，过B作BM⊥BC交AE于M，现给二个结论：①∠BMD的度数不变：②BD+BM+DM值不变，其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪一个结论正确，证明正确的结论，并求其值．

Answer 1

（1）证明：如图1中，在线段CA取一点F，使得CF=CD．

∵∠C=90°，CF=CD，AC=CB，
∴AF=DB，∠CFD=∠CDF=45°，
∴∠AFD=135°，
∵BE⊥AB，∠ABC=45°，
∴∠ABE=90°，
∴∠DBE=135°，
∴∠AFD=∠DBE，
∵AD⊥DE，
∴∠ADE=90°，
∵∠FAD+∠ADC=90°，∠ADC+∠BDE=90°，
∴∠FAD=∠BDE，
在△ADF和△DEB中，

∠FAD=∠BDE

AF=DB

∠AFD=∠DBE

，
∴△ADF≌△DEB．
∴AD=DE，
∵∠ADE=90°，
∴△ADE是等腰直角三角形．

（2） ②正确．
理由：如图2中，作AG⊥BM交BM的延长线于G，在BG 的延长线上截取GH=CD．

∵∠C=∠CBG=∠AGB=90°，
∴四边形ACBG是矩形，
∵AC=CB，
∴四边形ACBG是正方形，
∴AC=AG，∠ACD=∠AGH=90°，
∴△ACD≌△AGH，
∴AD=AH，∠GAH=∠CAD，
∵∠DAE=45°，
∴∠MAH=∠MAG+∠GAH=∠MAG+∠CAD=45°，
∴∠MAD=∠MAH，∵MA=MA，
∴△MAH≌△MAD，
∴DM=KM，
∵HM=GM+HG=GM+CD，
∴DM=CD+GM．
∴BD+BM+DM=BD+BM+CD+MG=BC+BG=2BC=2a．
∴BD+BM+DM的值是定值．