如果66…6100个6能整除22…2n个2，那么自然数n的最小值是多少？

Question

如果

66…6

100个6

能整除

22…2

n个2

，那么自然数n的最小值是多少？

Answer 1

假设有n个2组成的自然数能被66…66（100个6）整除，
因为，66…66（100个6）=(6)/(9)×（10¹⁰-1），22…22（n个2）=(2)/(9)×（10ⁿ-1）；
所以22…22（n个2）÷66…66（100个6）=（10ⁿ-1）÷[3×（10¹⁰⁰-1）]，
要使（10ⁿ-1）÷能被（10¹⁰⁰-1）整除，必须n是100的倍数，
当n=300时，22..22（300个2）÷66…66（100个6）=（10²⁰⁰+10¹⁰⁰+1）÷3；
因为10²⁰⁰+10¹⁰⁰+1的各位数字之和为3，
所以（10²⁰⁰+10¹⁰⁰+1）÷3为整数，
所以，n最小的自然数为300．
答：自然数n的最小值是300．