复变函数的积分求（1-z）^(-1)的原函数.如果先提出负号到积分外面,得-ln(z-1).如果在dz上面添负号,得-ln(1-z).貌似过程都正确.到底是怎么回事啊z是复数!

Question

复变函数的积分
求（1-z）^(-1)的原函数.如果先提出负号到积分外面,得-ln(z-1).如果在dz上面添负号,得-ln(1-z).貌似过程都正确.到底是怎么回事啊
z是复数!

Answer 1

首先我先把这一题解一下,然后我指出你的疑惑,你就知道为什么了!
当1-Z＞0时,即Z＜1时,因为[ln(1-Z)]'=1/（1-Z）,所以ln(1-Z)是1/（1-Z）在（-∞,1）内的一个原函数,即在（-∞,1）内,
∫1/（1-Z）dZ=ln(1-Z)+C
当1-Z＜0时,即Z＞1时,因为[ln{-(1-Z)}]'=[ln(Z-1)]'=1/（Z-1）,所以ln(Z-1)是1/（1-Z）在（1,+∞）内的一个原函数,即在（1,+∞）内,
∫1/（1-Z）dZ=ln(Z-1)+C
将Z＜1及Z＞1的结果和起来,可写成：
∫1/（1-Z）dZ=ln[Z-1]+C（就这一个式子中用“[]”表示绝对值）
解惑：你的错误是没有注意函数ln(z-1)的定义域,负号是不能随别提的.再想想吧!