A=0-11-101110（一个三阶矩阵）,求一个正交矩阵P使P^-1AP=B为对角阵.

Question

A=0 -1 1 -1 0 1 1 1 0（一个三阶矩阵）,求一个正交矩阵P使P^-1AP=B为对角阵.

Answer 1

设A的特征值为λ
则|A-λE|=
-λ -1 1
-1 -λ 1
1 1 -λ 第2行减去第1行,第3行加上第1行*λ
=
-λ -1 1
-1+λ -λ+1 0
1 1 -λ 第2列加上第1列
=
-λ -1-λ 1
-1+λ 0 0
1 2 -λ 按第2行展开
=(-1+λ)(λ²+λ-2)=0
解得λ=1,1,-2
当λ=1时,
A-E=
-1 -1 1
-1 -1 1
1 1 -1 第1行加上第3行,第2行加上第3行,交换第1和第3行
～
1 1 -1
0 0 0
0 0 0
得到特征向量(1,0,1)^T和(0,1,1)^T
正交化为(1,0,1)^T和(-1,2,1)^T
当λ= -2时,
A+2E=
2 -1 1
-1 2 1
1 1 2 第1行加上第2行*2,第2行加上第3行
～
0 3 3
0 3 3
1 1 2 第1行减去第2行,第2行除以3,第3行减去第2行
~
0 0 0
0 1 1
1 0 1 交换第1和第3行
~
1 0 1
0 1 1
0 0 0
得到特征向量(-1,-1,1)^T
再对特征向量进行单位化
分别得到
(1/√2,0,1/√2)^T,(-1/√6,2/√6,1/√6)^T,(-1/√3,-1/√3,1/√3)^T
于是正交矩阵P为
1/√2 -1/√6 -1/√3
0 2/√6 -1/√3
1/√2 1/√6 1/√3