如图，GH是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在GH上的一点B的正北方向的A处建一仓库，设AB=ykm，并在公路同侧建造边长为xkm的正方形无顶中转站CDEF（其中边EF在GH上），现从仓库A

Question

如图，GH是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在GH上的一点B的正北方向的A处建一仓库，设AB=y km，并在公路同侧建造边长为x km的正方形无顶中转站CDEF（其中边EF在GH上），现从仓库A向GH和中转站分别修两条道路AB，AC，已知AB=AC+1，且∠ABC=60°．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）如果中转站四周围墙造价为1万元/km，两条道路造价为3万元/km，问：x取何值时，该公司建中转站围墙和两条道路总造价M最低？

Answer 1

（1）∵AB=y，AB=AC+1，∴AC=y-1．
∵在Rt△BCF中，CF=x，∠ABC=60°，
∴∠CBF=30°，可得BC=2x．
由于2x+y-1＞y，得x＞(1)/(2)．
在△ABC中，根据余弦定理AC²=AB²+BC²-2•AB•BC•cosB，
可得（y-1）²=y²+（2x）²-2y•2x•cos60°，
即（y-1）²=y²+4x²-2xy，解得y=(4x2−1)/(2(x−1))．
∵y＞0且x＞(1)/(2)，∴x＞1．
可得y关于x的函数解析式为y=(4x2−1)/(2(x−1))，（x＞1）．
（2）由题意，可得总造价M=3[y+（y-1）]+4x=(12x2−3)/(x−1)-3+4x．
令x-1=t，则M=(12(t+1)2)/(t)-3+4（t+1）=16t+(9)/(t)+25≥2√(16t•(9)/(t))+25=49，
当且仅当16t=(9)/(t)，即t=(3)/(4)时，M的最小值为49．
此时x=t+1=(7)/(4)，y=(4x2−1)/(2(x−1))=(15)/(2)．
答：当x的值为(7)/(4)时，该公司建中转站围墙和道路总造价M最低．