在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°<α<60°），分别以AB、BC为边作等边三角形ABE和等边三角形BCD，连结CE，如图1所示．（1）直接写出∠ABD的大小（用含α的式子表示）；（2）判断DC与CE的位置关

Question

在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°<α<60°），分别以AB、BC为边作等边三角形ABE和等边三角形BCD，连结CE，如图1所示．
（1）直接写出∠ABD的大小（用含α的式子表示）；
（2）判断DC与CE的位置关系，并加以证明；
（3）在（2）的条件下，连结DE，如图2，若∠DEC=45°，求α的值．

Answer 1

（1）∵AB=AC，∠A=∠α，
∴∠ABC=∠ACB=(1)/(2)(180°-∠α)
=90°-(1)/(2)∠α
∴∠ABD=∠ABC-∠ABE
=90°-(1)/(2)∠α-60°
=30°-(1)/(2)∠α；

（2）DC与CE垂直；
连接AD；
∵∠ABE=∠DBC=60°，
∴∠ABE-∠DBE=∠DBC-∠DBE，
即∠ABD=∠EBC，
在△ABD和△EBC中，

AB=BE

∠ABD=∠EBC

BD=BC

，
∴△ABD≌△EBC，
∴∠ADB=∠ECB，
在△ABD和△ACD中，

AB=AC

AD=AD

BD=CD

，
∴△ABD≌△ACD，
∴∠BAD=∠CAD=(1)/(2)∠α，
∴∠BDA=180°-∠ABD-∠BAD=180°-（30°-(1)/(2)∠α ）-(1)/(2)∠α=150°，
∴∠BCE=150°，
∵∠BCD=60°，
∴∠DCE=90°，
即DC与CE垂直；

（3）∵∠DCE=90°，
又∵∠DEC=45°，
∴△DEC为等腰三角形，
∴DC=DE=BC，
∵∠BCE=150°，
∴∠EBC=15°，
∵∠EBC=30°-(1)/(2)∠α=15°，
∴∠α=30°．