已知a>0,b>0,则1/a＋1/b＋（2倍根号ab）的最小值是多少?

Question

已知a>0,b>0,则1/a＋1/b＋（2倍根号ab）的最小值是多少?

Answer 1

高中不等式最值一节,使用“均值不等式”求最值的前提条件是“一正、二定、三相等”
在缺少条件的情况下,你这种问法是不合理的,可以说不存在最小值.
存在最小值的条件是 a = b =1,在这个条件下,最小值为 4.
道理如下：
1/a + 1/b + 2√(ab) (前两项通分）
= （a+b)/(ab) + 2√(ab) (根据 a+b≥2√(ab)
≥ 2√(ab)/(ab) + 2√(ab) (此步“=”成立的条件是 a=b
= 2/√(ab) + 2√(ab) （再用均值不等式
≥ 2 √ {[ 2/√(ab) ]×2√(ab) } (此步“=”成立的条件是 2/√(ab) =2√(ab) 即 ab=1
= 2√4
= 4
故 a = b =1 时,最小值为 4.