如图，平面直角坐标系中，已知点A（1，3），B（2，0），C为x轴上点B右侧的动点，以AC为腰作等腰△ACD，使AD=AC，∠CAD=∠OAB，直线DB交y轴于点P．（1）求证：AO=AB；（2）求证：△AOC≌△ABD；

Question

如图，平面直角坐标系中，已知点A（1，3），B （2，0），C为x轴上点B右侧的动点，以AC为腰作等腰△ACD，使AD=AC，∠CAD=∠OAB，直线DB交y轴于点P．

（1）求证：AO=AB；
（2）求证：△AOC≌△ABD；
（3）当∠ACO=30°时，AD=___（直接填写）；当点C运动时，点P在y轴上的位置是否发生改变，为什么？

Answer 1

（1）如图，作AE⊥OB于点E，

∵A（1，3），B（2，0），
∴OE=1，BE=2-1=1，
∴OE=BE，
在△AEO与△AEB中，
∵

AE=AE

∠AEO=∠AEB=90°

OE=BE

，
∴△AEO≌△AEB，
∴AO=AB；
（2）∵∠CAD=∠OAB，
∴∠CAD+∠BAC=∠OAB+∠BAC，即∠OAC=∠BAD，
在△AOC与△ABD中，
∵

OA=AB

∠OAC=∠BAD

AC=AD

，
∴△AOC≌△ABD（SAS）；
（3）当∠ACO=30°时，AD=6；
点P在y轴上的位置不发生改变．
理由：设∠AOB=∠ABO=α，
∵由（2）知，△AOC≌△ABD，
∴∠ABD=∠AOB=α，
∵OB=2，∠OBP=180°-∠ABO-∠ABD=180°-2α为定值，∠POB=90°，
∴OP长度不变．
故答案为：6．