如图，不等边△ABC内接于⊙O，I是其内心，且AI⊥OI．若AC=9，BC=7，则AB=．

Question

如图，不等边△ABC内接于⊙O，I是其内心，且AI⊥OI．若AC=9，BC=7，则AB=______．

Answer 1

连接OA、OD、BD和BI，

∵OA=OD，OI⊥AD
∴AI=ID，
∵I为△ABC内心，
∴∠CAD=∠CBD，
∴∠DBI=∠DBC+∠CBI=∠DAC+∠CBI，
=(1)/(2)（∠BAC+∠ABC），
∵∠DIB=∠DAB+∠ABI=(1)/(2)（∠BAC+∠ABC），
∴∠DIB=∠DBI，
∴BD=ID=AI，
∵

BD

=

DC

，
故OD⊥BC，记垂足为E，则有BE=(1)/(2)BC，
作IG⊥AB于G，又∠DBE=∠IAG，而BD=AI，
∴Rt△BDE≌Rt△AIG，

于是，AG=BE=(1)/(2)BC，但AG=(1)/(2)（AB+AC-BC），
故AB+AC=2BC，
∴AB=2×7-9=5，
故答案为：5．