如图所示，在△ABC中，PG为BC边的垂直平分线．且∠PBC=12∠A，BP的延长线交AC于点D，CP的延长线交AB于点E．求证：BE=CD．

Question

如图所示，在△ABC中，PG为BC边的垂直平分线．且∠PBC=(1)/(2)∠A，BP的延长线交AC于点D，CP的延长线交AB于点E．求证：BE=CD．

Answer 1

证明：证明：作BF⊥CE于F点，CM⊥BD于M点，
则∠PFB=∠PMC=90°．
∵PG是BC的垂直平分线，
∴PB=PC．
在△PBF和△PCM中，

∠PFB＝∠PMC 

∠BPF＝∠CPM 

PB＝PC 

，
∴△PBF≌△PCM（AAS），
∴BF=CM；
∵PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB=(1)/(2)∠BPE．
∵∠PBC=(1)/(2)∠A，
∴∠A=∠BPE．
∴∠EPD+∠BPE=∠EPD+∠A=180°，
∴∠AEP+∠ADP=180°．
又∠AEP=∠BEF，∠ADP+∠CDM=180°，
∴∠BEF=∠CDM．
在△BEF和△CDM中，

∠BEF＝∠CDM 

∠BFE＝∠CMD 

BF＝CM 

，
∴△BEF≌△CDM（AAS）．
∴BE=CD．