如图，四边形ABCD中，AD∥BC，DE平分∠ADB，∠BDC=∠BCD．（1）求证：∠1+∠2=90°；（2）若∠ABD的平分线与CD的延长线交于F，且∠F=55°，求∠ABC；（3）若H是BC上一动点，F是BA延长线上一点，FH交B

Question

如图，四边形ABCD中，AD∥BC，DE平分∠ADB，∠BDC=∠BCD．
（1）求证：∠1+∠2=90°；

（2）若∠ABD的平分线与CD的延长线交于F，且∠F=55°，求∠ABC；

（3）若H是BC上一动点，F是BA延长线上一点，FH交BD于M，FG平分∠BFH，交DE于N，交BC于G．当H在BC上运动时（不与B点重合），(∠BAD+∠DMH)/(∠DNG)的值是否变化？如果变化，说明理由；如果不变，试求出其值．

Answer 1

（1）证明：AD∥BC，
∠ADC+∠BCD=180，
∵DE平分∠ADB，
∠BDC=∠BCD，
∴∠ADE=∠EDB，
∠BDC=∠BCD，
∵∠ADC+∠BCD=180°，
∴∠EDB+∠BDC=90°，
∠1+∠2=90°．

（2）∠FBD+∠BDE=90°-∠F=35°，
∵DE平分∠ADB，BF平分∠ABD，
∴∠ADB+∠ABD=2（∠FBD+∠BDE）=70°，
又∵四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠DBC=∠ADB，
∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=∠ABD+∠ADB，
即∠ABC=70°；

（3）(∠BAD+∠DMH)/(∠DNG)的值不变．
证明：在△BMF中，
∠BMF=∠DMH=180°-∠ABD-∠BFH，
又∵∠BAD=180°-（∠ABD+∠ADB），
∠DMH+∠BAD=（180°-∠ABD-∠BFH）+（180°-∠ABD-∠ADB），
=360-∠BFH-2∠ABD-∠ADB，
∠DNG=∠FNE=180°-(1)/(2)∠BFH-∠AED，
=180°-(1)/(2)∠BFH-∠ABD-(1)/(2)∠ADB，
=(1)/(2)（∠DMH+∠BAD），
∴(∠BAD+∠DMH)/(∠DNG)=2．